編入試験:東京大学

東京大学工学部の編入試験問題(物理)と解答例です。機械科卒業生N君が提供してくれました!! そうなんだよ卒業して数年経ってるのに連絡くれて勉強資料を提供してくれたんだよ!聖人か!徳を積むんか!!も~まわりにこんな学生さんばかりでおばちゃん泣けるわ~(育休中で情緒不安定)。みなさんこの偉大なる先輩に感謝して見て下さい。 また、2次配布(友人にあげたりすること)はしないようにお願いします。

N君からは解答だけ受け取りました。試験問題と私の走り書きの解答も手元に少しだけあったので一緒に載せておきます。抜けている部分があるのは申し訳ない。分かりにくかったり間違えていたりすることがあると思うので、遠慮せずに質問やコメントなどしてくれると嬉しいです。
また、N君は数学の試験問題を解いたものもまだ持っているそうで、そちらにも興味のある人がいたら連絡をくれとのことです。徳を積んで今生で解脱しようとしている彼にこの件で連絡を取りたい人は私に言ってくれれば彼に繋ぎます。

PDFにはパスワードがかかっています。編入試験問題の掲載についてはサイト復活と編入試験の解答例についても読んで下さい。 解答の修正や追加は随時行います。気になる点があればこのページを再度チェックしてみてください。

ちなみにN君は謙虚なので「 一応,物理が苦手で(東大編入試に)落ちた人間のものであることを断っていただけると 」などと言っていましたが、彼は某大学に進んだあとトビタテを使って欧州某国に研究留学し(学部生だぜ???)、帰国後に日本で一番の大学院(分かれ)にさらっと合格しつつアメリカの複数の超一流大学の教授とメールで連絡を取りあい好感触をもらって修士から渡米しようとしています。ヤバいだろ? こういう人に会えるのは年齢関係なく嬉しい。みんなもそれぞれの形で後に続くんやで。

<東京大学 工学部 編入試験 物理 問題・解答例>

産休・育休に入ります

こんにちは、大森です。

私事ですが、2019年の9月中旬から産休に入りました。
このまま1年半後の2021年3月末まで育休を取る予定です。

この休業期間中は、このサイトに載せている編入試験関係の資料の更新ができなくなります。京大名大名工大の3校しか載せられていない状態のままになりますが、まぁないよりはマシかなということで……。

コメント欄やメールで連絡をくれる人に対しては今まで通りの対応を続けようと思いますが、返信は滞りがちになると思います(下手をすると1か月ぐらい反応がないこともあると思います)。どうぞよろしく。

剛体の回転角の話

編入試験の勉強をしている学生さんからたまに聞かれる質問なのでまとめておきます。

  • 剛体の回転角 \theta の定義(どこからどこまでの角度を \theta とすべきなのか)が分からん
  • 曲面上をすべらずに転がる円板や球の問題を解いたら答えが合わない。どうもすべらないことからくる条件が違うようだが分からない。直線上をすべらずに転がる問題は解けてるのに。なんぞ?
  • 「すべっていなければ接地点は瞬間回転中心になるから速度ゼロ」ってどういうこと……

といったところで手が止まった人向け。

***

まず剛体の動き方の確認です。質点とちがって剛体には大きさがあるので、重心の移動だけではなく重心のまわりの回転(自転)が組み合わさった動きをしますね。

例えば、端に1か所★印のついている円板を投げるとします。

図1:重心のまわりで回転していない(=重心の並進運動だけの)剛体の動き

★印が真下にある状態から円板をいっさい回転させずに投げることができたら、図1のような状況になりますね。★印はつねに真下にあります。

図2:重心のまわりで回転しつつ動く剛体

同じ円板を、回転をつけながら投げると図2のようになります。円板はその重心を速度 v で移動させながら、重心のまわりを角速度 \omega で自転しています。★印は回転した角度の分だけ移動します。

図3:重心まわりの(自転の)回転角の定義

剛体の重心まわりの(=自転の)角速度 \omega は、剛体が重心まわりにどれだけまわったかを示す角度 \theta を微分することで得られます。これを重心のまわりの回転角と呼びます。今の場合だったら、「★印は真下からどれだけ回ったか」を測ればよいので、鉛直線を基準軸として図3のように \theta を定義すれば、

(1)   \begin{equation*} \omega = \frac{d\theta}{dt} \end{equation*}


が成り立ちます。また、この円板にはたらく重心のまわりのトルク(力のモーメント)を N、重心のまわりの慣性モーメントを I として、重心のまわりの回転の運動方程式

(2)   \begin{equation*} I\frac{d\omega}{dt} = I\frac{d^2\theta}{dt^2} =N\end{equation*}


が成り立ちます。

以上のことは、空中ではなく曲面上を動いているときも全く同じです。剛体の重心まわりの(=自転の)回転角 \theta「空間に固定された軸から何度回ったか」で定義しないといけません。

図4:曲面上を転がる円板

たとえば大きな球や円板の上をさっきの円板が転がっているとしましょう。このときの重心まわりの回転角 \theta図4のように定義されます。このように定義すると、(1)式や(2)式もそのままの形で成立します。

気を付けたいのは、図4のような状況の問題を考える時、重心まわりの回転角
\theta を「大きな円との接地点から★印までの角度( 図4で言うと \theta-\phi のこと)」と定義してしまいがちなことです。そのように定義してしまうと、回転の運動方程式(2)は成り立ちません。大きな円があるだけで錯覚しやすいですが、小円板だけ見ると図4図3と同じ状況なのです。

***

さて、次にここからは「すべらない」話をしましょう。図4のような問題で、「円盤がすべらずに転がる」とか「大きな球は完全に粗い(=摩擦力最強=上に載っている物体はすべらない)」とか書いてある場合のことを考えます。

図5:すべらずに転がる場合、大きいやつと小さいやつが互いに接した青い部分の距離は一致するはず。

もし乗っている円板が滑らずにころがっている場合、上の円板が転がりながら下の円と互いに接した部分(図5中に青い太線で示した部分)の距離は完全に一致するはずです。上滑りなどはしていない状態です。これが「すべらない」の一番原始的な定義です。式にすると、大きな円の半径を R、乗っている小さな円の半径を r として

(3)    \begin{equation*}  R\phi = r \left( \theta-\phi \right) \end{equation*}


ということになります。この式を後に続く話のために少し変形しておくと次の形になります。

(4)    \begin{equation*} \left( R+r \right) \phi = r  \theta  \end{equation*}


図6:回転角と速度

(4)式は重心の速度 v と自転の角速度 \omega で書き直すことができます。 重心が進んだ距離は図6より \left( R+r \right) \phi とかけることから、これを微分して

(5)    \begin{equation*}   v = \left( R+r \right) \frac{d\phi}{dt}   \end{equation*}


と表すことができます。したがって、(4)式の両辺を微分し、(5)式と(1)式を代入すると

(6)     \begin{equation*} v = r  \omega  \end{equation*}


を得ます。よく見る式やね。

ちなみにここまでの式を使うと、「すべらない」とは「接地点が瞬間回転中心になるので速度がゼロ」とか言ってる初めて読んだ時には意味不明な話(分からなかったのが私だけとは信じたくない)も理解できます。

図6における接地点Aの速度 v_A を求めてみましょう。重心は速度 v で動いていて、さらに角速度 \omega で自転しています。自転による速度を v' とすると、図6に示したように v とは逆 向きの円の接線方向を向いているので、接地点Aの速度 v_A は重心の運動と自転による速度を合わせて次のようになります。

(7)     \begin{equation*} v_A = v-v' \end{equation*}


この式に、(6)式と、角速度 \omega で半径 r の自転をしていることから成り立つ  v'=r\omega の関係を代入すると、

(8)     \begin{equation*} v_A =  r  \omega - r\omega =0 \end{equation*}


となり、接地点の速度はつねにゼロであることが分かります。したがって、円板はこの瞬間、接地点を中心にした大きな円運動をしていると見ることができるため、「接地点は瞬間回転中心」という表現をすることがあるのです。これが「すべらない」のカッコイイ表現方法です。

編入試験:修正情報 など

名古屋大学名古屋工業大学の編入試験問題の解答にミスがあったので、訂正情報を追記したり訂正版の解答を再掲載したりしました。既にダウンロード済みの人はチェックしておいてください。

名大の方は解答提供者M君と「これ凡ミスだねー」「しまったー」という話をした覚えがあるので、訂正版ではない解答をもらってしまったかもしれません。ごめんよ。

ミスを教えてくれたW君とコメント欄のテクダさんありがとう。他にもあると思うので、見つけたら是非教えて下さい。質問も歓迎しています。こういうことをするために作ったこのサイトなので!(ただしレスポンスは著しく遅いです。気長に待ってください)

編入試験関係の質問に来る学生さん、新学期開始直後は少なくなっていましたが、この1~2週間くらいでまた元通りになってきました。本命の試験が1か月2か月先に迫ってきたという人も多いです。追い込みの時期に入ってきましたね。みんながんばれ!

このサイトのコメント欄について

編入試験に関するこの投稿のコメント欄で問い合わせをしてくれる流れができているので、記事中にコメント欄に関する追記をしました。ここにも別個の投稿として転記しておきます。

  1. コメントは私が確認するまでサイトに表示されません。
  2. そして私がコメントの投稿に気付くのはだいたい遅いです(すまん)
  3. したがって「コメント送ったけど表示されないしレスポンスないし、これ本当に投稿されたのかな…」と不安になる状況が発生しますが、気長に待っていてください。長期休暇でない限り1週間以内に気付くと思います。1週間たっても何もなかったらもう一度コンタクトを取って下さい。
  4. メールで直接連絡をくれてもいいですよ。メールアドレスはこのサイトの profile に書いてあります。[at]は@にして下さい。ただしメールだから早く返信が来るわけではない、、、。すまんな。

コメント欄で問題の解き方に関する議論が発展するといいなー

編入試験:京都大学 平成25~30年度

京都大学工学部の編入試験問題(物理)と解答例です。2018年度の環境都市工学科卒業生M君が提供してくれました。みなさん偉大なる先輩に感謝して見て下さい。また、2次配布(友人にあげたりすること)はしないようにお願いします。

PDFにはパスワードがかかっています。編入試験問題の掲載についてはサイト復活と編入試験の解答例についても読んで下さい。解答の修正や追加は随時行います。気になる点があればこのページを再度チェックしてみてください。

H29の電磁気(「磁荷」とMaxwell方程式の話)は学部生の頃を思い出してほっこり。いつか授業でやりたいわー。物理特論まわってこないかな。

<追加・修正情報>
・2019/03/25

私の作った解答が発掘されたので「大森版」として載せておきます。
平成25~27年度に関しては比較的丁寧に書いているので、M君版で理解できない場所があった人には何らかの参考になるかもしれません。
平成28~30年度に関しては落書きのままなので、たぶん読んでも分からないね…。いや京大目指す人だったらこれでも理解してもらえるかもしれない。少なくともM君は理解してくれた(天才か)。迷走している場所もあるので、「先生も間違えるのねー」という精神安定剤だと思って温かい目で見て下さい。もし希望があったらこの3年分も時間のあるときに丁寧に書き直します。
・2020/05/23
平成30年度問題2問5にミスがありました。訂正内容は以下に書いてあります。コメント欄松本さんありがとうございました!

<京都大学 工学部 編入試験 物理 問題・解答例>

編入試験:名古屋工業大学 平成25~31年度・2020年度

名古屋工業大学工学部の編入試験(物理)の問題と解答例です。2018年度C科卒業生M君・2019年度E科卒業生K君・他高専2019年度卒業生Sさん(!)・他校生Kさん(!)・他高専2020年度卒業生Kさん(!)が提供してくれました。みなさん偉大なる先輩達に感謝して勉強して下さい。また、2次配布(友人にあげたりすること)はしないようにお願いします。

PDFにはパスワードがかかっています。編入試験問題の掲載についてはサイト復活と編入試験の解答例についても読んで下さい。解答の修正や追加は無言で随時行います。気になる点があればこのページを再度チェックしてみてください。

名工大は基本的な問題をきっちり出してくれますね。

<追加・訂正情報>
・2019/05/21
平成25年度と平成26年度にミスがあったので、該当部分を大森が書き直して再掲載しました。M君のきれいな解答から突然汚い私の解答が出てくるの、恥以外の何物でもないなこれ。
・2019/06/10
豊田高専K君が平成29~31年度の解答をくれたよー!! 問題は名工大のHPに載っているそうなので、とりあえずもらった解答だけ載せておきます。ありがとうありがとう
・2019/06/25
他高専の学生Sさんが、今年実施された問題と解答例を送ってくれました!!何これ!!優しい世界!!!!外部の人から提供をもらったのは初めてです。これは全く想定していませんでした。本当に嬉しい。ありがとうございます!
・2020/05/18
上記のSさんに続き、他校生のK君が間違いの指摘に加えて彼の解答例を送ってくれました!!優しい世界ーーーー!!このサイトを作った甲斐がありました。みなさんのおかげで少しずつ理想に近づいています。とてもとても嬉しいです。ありがとうございます!
・2020/08/08
まただよーー!!他高専の学生Kさん(合格されたそうです!祝!!!)が今年出題された問題を最速で送ってくれたよーー!!嬉しいなあ、とても嬉しい。世界が優しすぎて涙出るわ。ありがとうございます!

<名古屋工業大学 工学部 編入試験 物理 問題・解答例>
提供:豊田高専M君(平成25~28年度)
豊田高専K君(平成29~31年度)
他高専Sさん(2019年度)
他校生Kさん(2020年度)
他高専Kさん(2021年度)      みんなありがとう!!

    • 平成25年度(2019/05/21 訂正版)
      • 訂正1:問題II の解答にミスがあったため、大森が書き直したものを再掲載しました。(豊田高専W君、指摘ありがとう!)
      • 訂正2:問題I (4)、X から L に直すときに分母の g が √g に化けていますが、g としてください。
    • 平成26年度(2019/05/21 訂正版)
      • 訂正:問題II後半 の解答にミスがあったため、大森が書き直したものを再掲載しました。(豊田高専W君、ありがとう!)
    • 平成27年度
    • 平成28年度
      • 訂正1:問題III (2) で途中から Q の2乗を書き忘れています。(コメント欄Hさん、ありがとう!)
      • 訂正2:問題I(2) 、重力による位置エネルギーは力学的エネルギーに含まれるので、解答は kv^3 です。(コメント欄浅見さん、ありがとう!)
    • 平成29年度(解答のみ)
    • 平成30年度
      • 補足:問題1(1) の運動方程式について、「重力はいらないの? 自然長は?」ということが気になる人は補足1,補足2を見てみてください(育休中でスキャナーがないので写真でごめん)。つりあいの位置を座標の原点とするとこういう風にすっきりと運動方程式が書けるという例です。
    • 平成31年度
      • 補足:問題5(4) の解答例を見て「なんでこの式がいきなり出てくるの…わけが分からないよ…」と思った人、安心して下さい。あなたはおかしくありません。この問題は「誘電率の平方根と屈折率は比例する(SI単位系だとn=\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{\epsilon_0 \mu_0})」ことを知らないと解けません。知っていればこれを(3)に代入するだけです。
    • 2020年度=令和元年度(2020/05/18 訂正版)
      • 訂正:問題2(4) 以降の解答にミスがあり、指摘してくれた他校生K君の解答とマージして再掲載しました。(他校生K君ありがとう!)

編入試験:名古屋大学 平成22~31年度

名古屋大学工学部の編入試験問題(物理のみ)と解答例です。2018年度C科卒業生M君と2019年度E科卒業生K君が提供してくれました。みなさん偉大なる先輩達に感謝して勉強して下さい。また、2次配布(友人にあげたりすること)はしないようにお願いします。

PDFにはパスワードがかかっています。編入試験問題の掲載についてはサイト復活と編入試験の解答例についても読んで下さい。解答の修正や追加は無言で随時行います。気になる点があればこのページを再度チェックしてみてください。

H26のボールを回転させて投げるやつは面白くて素敵。初期値によらない一般的な状況を知りたい人は連立漸化式を解きましょう。
H27の水の形が放物線になるやつも好きです。こういう身近な物理を真面目に解く問題は純粋に楽しいよね。

<追加情報>
・2019/02/27
平成26年度と平成27年度の解答を追加しました。追加された方が教員の解答用紙だってことに我ながら驚きを隠せない。みんなが真似るべきなのはもちろんM君の方ですHAHAHA
・2019/04/22
在校生のK君が勉強の一環として解いた平成30年度・31年度の解答をくれました!M君同様、彼も掲載OKと言ってくれたので、有難く掲載させてもらいます。問題をもらうのを忘れた(私が)ので解答のみです。ありがたやありがたや。みんな、こういう娑婆に生きる聖人に感謝して勉強に邁進するんやで。
・2019/06/12
平成29年度の問題4の解答に間違いがあったため修正版に差し替えました。指摘してくれたW君ありがとう!
・2021/01/11
平成24年度の問題1の後半の解答が不足していたので追加を書いて載せました(ただし1つ解けていないのがある…)。コメントをくれたNaganawa君ありがとう!

 

<名古屋大学 工学部 編入試験 物理 問題・解答例>
提供:豊田高専M君(平成22~29年度)&K君(平成30~31年度) ありがとう!!

  • 平成22年度 
  • 平成23年度 
    • 訂正1:
      解答1(5) の3行目と4行目に説明不足とミスがあって分かりづらい状態です。この2行を以下の文と差し替えて読んで下さい。(豊田高専W君質問&指摘ありがとう!)
      ———————-
      ここで、小円板の重心周りの回転角を \phi とすると、すべらずに転がることから R\theta = r \left(\phi-\theta \right) がなりたつ(※これ分からない人は剛体の回転角の話を読んでみてね)。これより \phi = \frac{R+r}{r} \theta となるので、この式の両辺を時間で微分して小円板の自転の角速度 \omega が次のように得られる:

           \begin{equation*}\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{ R+r }{r} \frac{d\theta}{dt}\end{equation*}


      これを先ほどの式に代入すると、

           \begin{eqnarray*}\frac{1}{2} mr \frac{d\omega}{dt} &=& F\\ \frac{1}{2} m \left( R+r \right) \frac{d^2\theta}{dt^2} &=& F\end{eqnarray*}


      これを①へ代入

           \begin{eqnarray*}m \left(R+r\right) \frac{d^2\theta}{dt^2} &=& mg \sin \theta - \frac{1}{2} m \left( R+r \right) \frac{d^2\theta}{dt^2}\end{eqnarray*}


      (以下PDFと同様)
      ———————-
    • 訂正2:
      解答2のI、巻き数Nと断面積Aが必要です。答えは\left| V \right| = N B_0 A / t_0 になります。(コメント欄ニシさんありがとう!)
    • 訂正3:
      解答2Ⅲ(3)、uB_s を代入するときに B_s の分母の \ellL になってしまっています。これを直して、解答は u=\frac{L\ell B_s^2}{2A\mu_0^2 N^2} になります。(コメント欄メングさんありがとう!)
  • 平成24年度 
    • 追加:問題1(4)-(6) ただし(5)は意味が分からなくて放置……求められている答が分かる人がいたら是非おしえてください!
  • 平成25年度
    • 追加:問題 1 (3) の図の補足
    • 訂正1:解答 2(1) 1) と 2) 電流 I の分母に × r が必要です(コメント欄テクダさんありがとう!)
    • 訂正2:解答 2(2) 2) ΔBの計算途中で μ0 が消えていますが必要です(コメント欄テクダさんありがとう!)
    • 訂正3:解答 2(2) 2) と 3)、\theta_0 の定義が上下逆になっています。2) の積分範囲を \pi - \theta_0 \rightarrow \theta_0(結果 B が正になります)、3) の極限の取り方を  \theta_0 \rightarrow 0 としてください。(コメント欄めささんありがとう!)
  • 平成26年度
  • 平成27年度
    •  追加:問題 1 (2)
    • 訂正:解答 1.(1) 1) ②式の右辺の \omega_1\omega_1^2 のミスです。
         これに伴い最終解答も \omega_1=\sqrt{g/L \cos \theta} になります。
         (コメント欄テクダさんありがとう!) 
  • 平成28年度
    • 訂正1:解答1.(3) 3) グラフの横軸の値が2倍違います
         (コメント欄テクダさんありがとう!)
    • 訂正2:解答1.(4) 2) グラフの形(座標等)がちょっと違っています 
  • 平成29年度(訂正版)
    • 訂正1:問題4 の解答が間違っていたため訂正版に差し替えました。(豊田高専W君ありがとう!)
    • 訂正2:問題3(2)の解答にミスがあります。後日訂正版を載せます!(コメント欄の匿名さんありがとう!)
  • 平成30年度(解答のみ)
  • 平成31年度(解答のみ)
    • 訂正:解答2(3)、微分中の分子第2項に2/3をかけ忘れる計算ミスがあります。これを直すと \frac{\partial E}{\partial y}=\frac{9\left(\ell^2-2y^2\right)}{2\pi\epsilon_0\left(\ell^2+y^2\right)^\frac{5}{2}} で、y=\frac{\ell}{\sqrt{2}} のときに最大値を取ります。(コメント欄KN君ありがとう!)
    • さらに訂正:解答2(3)、y=-\frac{\ell}{\sqrt{2}}も答になりますね。(コメント欄いながきごろうさんありがとう!) 

サイト復活と編入試験の解答例について

こんにちは、大森です。

学科サーバーの更新etcで長く削除していた個人サイトを復活させました。以前のデータも残っていますが面倒なので今のところ再掲載は考えていません。前のサイトにコメントをくれた人ごめんなさい。

復活させたのは、大学編入学試験の過去問(物理)の解答例をシェアして議論する場所を作りたいと思ったためです。

大学編入学を目指す学生さんが編入試験の過去問の答え合わせをしたいと思ったときは、友達か教員に質問をして議論するしか選択肢がなかったと思います(編入試験の過去問共有サイトもあるようですが)。この「友達や教員と議論しながら自分の手を動かして問題を解く」ことは、編入試験勉強に限らず、一番いい勉強方法です。これからも是非やってください。私も常時歓迎でお待ちしています。

ただ残念なことに、お互い時間に限りがあります。私個人の話をすると、質問に来てくれた学生さんと予定が合わず数日待たせたり、逆に編入試験の質問が立て込んで通常の授業内容に関する質問に来た学生さんを待たせてしまうことも出てきました。

教員としては授業とそれに出席している学生さんへの対応を最優先しなければいけません。悩みましたが、ちょうど編入試験を終えた学生M君が数年分の過去問と彼の解答をまとめて提供してくれたこともあり、解答例を公開して共有することにしました。皆で解答例を読み合ってサイト上で議論ができれば、間違えていても誰かが突っ込んでくれるだろうし、皆(私含む)で賢くなれる、というのもWeb共有の理由のひとつです。そうです、他力本願です。どんどん突っ込んで下さい。

ただし色々な事情から、PDFにはパスワードをかけました。パスワードは私の部屋の前のホワイトボードに書いてあります。結果的に豊田高専生しか見られない形になってしまいましたが、どうしても欲しいという人が校外にいたら個人的に連絡をください。

解答例を読みながら自分でじっくり考えたり、周りの友達と議論したりしてみて、その上で分からないことがあれば遠慮なく質問に来てください。直接議論するのが一番得るものがあって一番楽しいのは教員にとっても同じです。皆で上に登ろう!

※2019/01/15 追記
ここのコメント欄でパスワードを聞く流れができているのでいくつか注意を書いておきます。

  1. コメントは私が確認するまでサイトに表示されません。
  2. そして私がコメントの投稿に気付くのはだいたい遅いです(すまん)
  3. したがって「コメント送ったけど表示されないしレスポンスないし、これ本当に投稿されたのかな…」と不安になる状況が発生しますが、気長に待っていてください。長期休暇でない限り1週間以内に気付くと思います。1週間たっても何もなかったらもう一度コンタクトを取って下さい。
  4. メールで直接連絡をくれてもいいですよ。メールアドレスはこのサイトの profile に書いてあります。[at]は@にして下さい。ただしメールだから早く返信が来るわけではない、、、。すまんな。

※2019/02/28 追記
私は物理の教員なので、載せているのは物理の問題だけですよー!!!!

※2019/10/02 追記
産休・育休に入りました。
コメント・メールに対する返信が著しく遅れると思います。

※2020/10/2 追記
現在過去問をアップできているのは以下の4校だけです。すまん。
修正や追加があったらそれぞれのページを随時更新するのでチェックしてね。
京都大学
名古屋大学
名古屋工業大学
東京大学