剛体の回転角の話

編入試験の勉強をしている学生さんからたまに聞かれる質問なのでまとめておきます。

剛体の回転角 $\theta$ の定義（どこからどこまでの角度を $\theta$ とすべきなのか）が分からん
曲面上をすべらずに転がる円板や球の問題を解いたら答えが合わない。どうもすべらないことからくる条件が違うようだが分からない。直線上をすべらずに転がる問題は解けてるのに。なんぞ？
「すべっていなければ接地点は瞬間回転中心になるから速度ゼロ」ってどういうこと……

といったところで手が止まった人向け。

＊＊＊

まず剛体の動き方の確認です。質点とちがって剛体には大きさがあるので、重心の移動だけではなく重心のまわりの回転（自転）が組み合わさった動きをしますね。

例えば、端に１か所★印のついている円板を投げるとします。

★印が真下にある状態から円板をいっさい回転させずに投げることができたら、図１のような状況になりますね。★印はつねに真下にあります。

同じ円板を、回転をつけながら投げると図２のようになります。円板はその重心を速度 $v$ で移動させながら、重心のまわりを角速度 $\omega$ で自転しています。★印は回転した角度の分だけ移動します。

剛体の重心まわりの（＝自転の）角速度 $\omega$ は、剛体が重心まわりにどれだけまわったかを示す角度 $\theta$ を微分することで得られます。これを重心のまわりの回転角と呼びます。今の場合だったら、「★印は真下からどれだけ回ったか」を測ればよいので、鉛直線を基準軸として図３のように $\theta$ を定義すれば、

(1) $\begin{equation*} \omega = \frac{d\theta}{dt} \end{equation*}$

が成り立ちます。また、この円板にはたらく重心のまわりのトルク（力のモーメント）を $N$ 、重心のまわりの慣性モーメントを $I$ として、重心のまわりの回転の運動方程式

(2) $\begin{equation*} I\frac{d\omega}{dt} = I\frac{d^2\theta}{dt^2} =N\end{equation*}$

が成り立ちます。

以上のことは、空中ではなく曲面上を動いているときも全く同じです。剛体の重心まわりの（＝自転の）回転角 $\theta$ は「空間に固定された軸から何度回ったか」で定義しないといけません。

たとえば大きな球や円板の上をさっきの円板が転がっているとしましょう。このときの重心まわりの回転角 $\theta$ は図４のように定義されます。このように定義すると、(1)式や(2)式もそのままの形で成立します。

気を付けたいのは、図４のような状況の問題を考える時、重心まわりの回転角
$\theta$ を「大きな円との接地点から★印までの角度（図４で言うと $\theta-\phi$ のこと）」と定義してしまいがちなことです。そのように定義してしまうと、回転の運動方程式(2)は成り立ちません。大きな円があるだけで錯覚しやすいですが、小円板だけ見ると図４は図３と同じ状況なのです。

＊＊＊

さて、次にここからは「すべらない」話をしましょう。図４のような問題で、「円盤がすべらずに転がる」とか「大きな球は完全に粗い（＝摩擦力最強＝上に載っている物体はすべらない）」とか書いてある場合のことを考えます。

図５：すべらずに転がる場合、大きいやつと小さいやつが互いに接した青い部分の距離は一致するはず。

もし乗っている円板が滑らずにころがっている場合、上の円板が転がりながら下の円と互いに接した部分（図５中に青い太線で示した部分）の距離は完全に一致するはずです。上滑りなどはしていない状態です。これが「すべらない」の一番原始的な定義です。式にすると、大きな円の半径を $R$ 、乗っている小さな円の半径を $r$ として

(3) $\begin{equation*} R\phi = r \left( \theta-\phi \right) \end{equation*}$

ということになります。この式を後に続く話のために少し変形しておくと次の形になります。

(4) $\begin{equation*} \left( R+r \right) \phi = r \theta \end{equation*}$

(4)式は重心の速度 $v$ と自転の角速度 $\omega$ で書き直すことができます。重心が進んだ距離は図６より $\left( R+r \right) \phi$ とかけることから、これを微分して

(5) $\begin{equation*} v = \left( R+r \right) \frac{d\phi}{dt} \end{equation*}$

と表すことができます。したがって、(4)式の両辺を微分し、(5)式と(1)式を代入すると

(6) $\begin{equation*} v = r \omega \end{equation*}$

を得ます。よく見る式やね。

ちなみにここまでの式を使うと、「すべらない」とは「接地点が瞬間回転中心になるので速度がゼロ」とか言ってる初めて読んだ時には意味不明な話（分からなかったのが私だけとは信じたくない）も理解できます。

図６における接地点Ａの速度 $v_A$ を求めてみましょう。重心は速度 $v$ で動いていて、さらに角速度 $\omega$ で自転しています。自転による速度を $v'$ とすると、図６に示したように $v$ とは逆向きの円の接線方向を向いているので、接地点Ａの速度 $v_A$ は重心の運動と自転による速度を合わせて次のようになります。